Принцип сжимающих отображений. Метод итераций.

Лабораторная работа № 4.

Принцип сжимающих отображений. Способ итераций

(практикум 5).

Метрические места. Полные метрические места. Принцип сжимающих отображений. Способ итераций.

Метрические места. Полные метрические места.

Метрическим местом именуется пара состоящая из огромного количества и данного на этом огромном количестве расстояния (метрики) , т.е. реальной, неотрицательной функции 2-ух частей огромного количества, удовлетворяющей теоремам расстояния: 1. 2. (теорема Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. симметрии); 3. (теорема треугольника).

В пространстве нередко употребляются последующие расстояния:

а)

б)

в) (евклидова метрика),

Метрические места с надлежащими расстояниями обозначаются

Упражнение 1. Сделать M-функции, которые вычисляют расстояние меж точками в разных метриках. Проверить их работу для расстояний меж точкой и точками и Вычислить расстояния меж точками и в Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. разных метриках.

Открытым шаром именуется огромное количество точек метрического места для которых Замкнутым шаром именуется огромное количество точек метрического места для которых

Упражнение 2. Сделать M-функцию, строящую изображение замкнутого шара в для разных метрик. Выстроить шары в метриках

Принцип сжимающих отображений. Способ итераций.

Последовательность точек метрического места именуется базовой, если для Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. хоть какого найдётся такое что при всех производится неравенство Метрическое место именуется полным, если всякая базовая последовательность в нём сходится, т.е. для этого места справедлив аспект Коши сходимости последовательности.

Места являются полными.

Пусть - полное метрическое место. Оператор отображающий в именуется сжимающим, если .

Пример 1. Если функция Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. определена на промежутке , и имеет непрерывную производную , удовлетворяет условию , то в полном метрическом пространстве вещественных чисел отрезка с метрикой определен оператор : , . В силу аксиомы Лагранжа имеем , где и как следует, - сжимающий оператор.


Принцип сжимающих отображений. Пусть - полное метрическое место, а оператор отображающий в - сжимающий. Тогда уравнение имеет и притом единственное решение.

Принцип Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. сжимающих отображений дает способ отыскания приближенного решения уравнения . Конкретно, если производятся условия приведенной аксиомы, то последовательность точек метрического места , , …, , …, где , выбирается произвольно, , , …, , …, сходится к - решению уравнения

Этот способ решения уравнения (1) и именуется способом итераций. Справедлива оценка погрешности от подмены четкого решения уравнения (1) его -ым приближением :

.

Пример 2.С Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. точностью до способом итераций отыскать решение уравнения в интервале .

Потому что , то процесс итераций для начального уравнения расползается. Перепишем уравнение в виде (при переходе к оборотной функции тут получаем не , а , потому что по определению , а по условию, ).

Так как при то для уравнения получаем сходящийся итерационный процесс.

Полагаем . Тогда , …

Чтоб Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. оценить число итераций, нужных для заслуги точности воспользуемся формулой . Для производную функции оценим сверху:

.

Тогда неравенство дает , как следует, . Беря во внимание, что , получаем .

Таким макаром, начиная с седьмого, члены последовательности отличаются от четкого решения уравнения наименее, чем на , , .

Упражнение 3.Положив вывести 10 первых членов последовательности данной рекуррентной Принцип сжимающих отображений. Метод итераций. формулой Прийти к выводу.

Упражнение 4. Сделать M-функцию для решения уравнения с данной точностью с выводом последовательности приближений. Входными параметрами являются функция параметр сжатия изначальное приближение точность решения Проверить работу для уравнения из примера 2. С точностью 0.0001 решить уравнение Сопоставить с ответом, приобретенными при конкретном решении в МatLab.


princip-dejstviya-sinhronnogo-generatorasg.html
princip-dejstviya-sovremennih-proekcionnih-apparatov.html
princip-dejstviya-tiristora.html